NLP连载系列：

1. NLP入门：文本特征的表示方式
2. 命名实体分类NER初识
3. n-gram的原理
4. CS224N笔记(一) Lecture1～2——word2vec超详细解析
5. CS224N笔记(二) Lecture1～2 ：深入理解Glove原理
6. CS224N笔记(三) Lecture 6~7——深入理解循环神经网络RNN模型
7. CS224N笔记(四) Lecture 7：循环神经网络RNN的进阶——LSTM与GRU
8. CS224N笔记(五) Lecture8 机器翻译、Seq2Seq以及Attention注意力机制

本文将从语言模型的概念出发，引出循环神经网络RNN的概念，对RNN的结构进行描述，详细推导了梯度计算过程，并解释RNN容易出现梯度消失、梯度爆炸的原因。文章的最后对RNN的应用场景进行了简单的介绍。

一、背景知识

1. 语言模型

在讲解循环神经网络RNN之前，先来回顾一下什么是统计语言模型，之前说到统计语言模型就是用以计算一个句子的概率的模型，简而言之就是判断一句话“是不是正常人说的”，常常会挖空语料中的某些位置，要求预测该位置填什么词最合适。其模型可以归结为：

$p(W)=p(w_1^T)=p(w_1,w_2,...,w_T)=p(w_1) \cdot p(w_2|w_1) \cdot p(w_3|w_1^2) \dots p(w_T|w_1^{T-1})$

上面这条公式中，W表示一个句话，它是由单词$w_1,w_2,...,w_T$按顺序排列而构成的，再次强调见到$w_1^T$不要认为是T幂次，它就是表示首单词为$w_1$，长度为T，末尾单词为$w_T$的一句话。

2.n-gram

上面的公式其实可以表示一切语言模型，如果我们是以统计信息来构建模型，那么就叫做统计语言模型，比如n-gram，其表述形式为：

$p(w_k|w_1^{k-1})\approx\frac{count(w_1^k)}{count(w_1^{k-1})}$

在深度学习未应用与NLP时，n-gram模型是非常流行的，但它存在以下问题

1. 稀疏性问题：随着n增大，语料库中出现特定的连续词语组合的可能性会越小，看你从词表中找不到特定的连续词语组合。
2. 存储问题：需要存储一个非常大的共现矩阵，且还会随着n增大而增大。
3. n-gram通常无法捕捉深层的语义信息。

3. 固定窗口神经语言模型

为了解决这一问题，提出了固定窗口神经语言模型，它是通过将一个窗口内的词语的词向量拼接起来，送入全连接神经网络，最后通过softmax函数预测概率。这里的词向量one-hot，但其实用word2vec的词向量应该也是可以的。

这一模型的好处在于：

1. 不存在稀疏性问题
2. 不需要存储所有的n-gram

但是它也有缺点：

1. 固定窗口不能太小也不能太大，太小捕捉不到上下文信息，太大拼接的向量会异常大，对机器要求很高。
2. 虽说每个词向量拼接在了一起，但是它们分别对应参数矩阵W的一条向量，参数不共享。这样不一定合理，因为它们其实都在做一件事，我们希望参数具有泛化性，对任意位置的处理是一致。
3. 窗口大小是固定的，一旦确定不能更改。

二、基本结构

上面说了固定窗口神经语言模型的不足之处，我们希望找到了一个更强大的模型，它应当具备以下特定：

1. 不受窗口限制，能够处理不定长的输入
2. 对于每一个位置上的词都可以用同一套参数进行处理

循环神经网络可以满足以上要求，它的模型结构如下：

模型的真正输入是各个词的词向量，模型中有一个隐状态$h$，输出是预测词的概率$\hat{y}$。模型的参数为输入层$W_e$、隐含层$W_h$、输出层$U$，注意$E$不算是可学习参数，它负责从将词的one-hot向量映射到词向量，本质上是个查表的工作，相当于tensorflow中tf.embedding_lookup操作。

词向量依次送入到模型中，每个词向量$e$在模型中首先和输入层$W_e$相乘，再加上另一条支路上隐状态$h$与隐含层$W_h$的相乘结果，然后再加上一个偏置$b$，最终的和送入非线性激活函数$\sigma$；输出的结果作为新的隐状态传递下去，参与下一轮计算，在下一轮的计算是以下一个词向量作为输入，以此不断循环，最终将隐状态$h$与输出矩阵相乘，加上偏置后进行softmax计算，输出概率值。

这里每一轮计算的参数$W_e$、$W_h$、$U$是一样的，中间的隐状态$h^{(1)}$、$h^{(2)}$、$h^{(3)}$如有需要也是可以输出，每一轮都输出一个结果，且这个循环可以一直进行下去，尽管实际操作中不会让它一直循环下去，因为会遇到别的问题——计算量巨大、梯度消失。

三、训练与优化

1. 损失函数

在RNN的训练过程中，每一轮都会计算损失函数$J^{(1)}(\theta)$、$J^{(2)}(\theta)$、$J^{(3)}(\theta)$、$J^{(4)}(\theta)$，最后将他们相加得到最终的损失函数：

$J(\theta) = \frac{1}{T}\sum_{t=1}^TJ^{(t)}(\theta)$

每一轮的损失函数$J^{(t)}(\theta)$均采用交叉熵函数，即：

$J^{(t)}(\theta) = CE(y^{(t)},\hat{y}^{(t)}) = -\sum_{w \isin V}\ y_w^{(t)}log\hat{y}_w^{(t)} = -log\ \hat{y}_w^{(t)}$

其中$y^{(t)}$表示真实值，它是$x^{(t+1)}$所对应的one-hot向量，我们希望输入$t$时刻前的词，能预测得到$t+1$时刻的词。

2. 梯度计算

接下来思考怎么计算梯度进行反向传播，这是RNN中的一个难点中的难点，这里课堂上讲得不是很清晰，补充材料notes里的符号又和课件slides里的不一致，很容易让人迷惑，因此下面我会根据课件和补充材料中内容，重新组织语言进行讲解，不完全遵循课件和补充材料中的顺序和符号。

根据前面的损失函数：

$J(\theta) = \frac{1}{T}\sum_{t=1}^TJ^{(t)}(\theta) \tag{1}$

很容易可以得到它关于W_h的梯度：

$\frac{\partial J}{\partial W_h} = \frac{1}{T}\sum_{t=1}^T \frac{\partial J^{(t)}}{\partial W_h} \tag{2}$

现在问题来了，那么$t$时刻的梯度$\frac{\partial J^{(t)}}{\partial W_h}$应该怎么计算？结论很简单，它等于$J^{(t)}$在1～$t$时刻关于$W_h$的梯度之和，即：

$\frac{\partial J^{(t)}}{\partial W_h} = \sum_{i=1}^t \frac{\partial J^{(t)}}{\partial W_h} \bigg| _{i} \tag{3}$

右边每个求和项的下标$i$指的是第$i$个时刻或者第$i$轮，即$J^{(t)}$对第$i$个时刻的$W_h$的梯度。这个公式是怎么来的呢？由于$J^{(t)}$与$t$时刻前每个时刻的参数矩阵$W_h|_1 、 W_h|_2 、 ... 、 W_h|_t$都有关，根据多元函数的链式法则，可以得到下面式子：

$\frac{\partial J^{(t)}}{\partial W_h} = \sum_{i=1}^t \frac{\partial J^{(t)}}{\partial W_h} \bigg| _{i} \frac{\partial W_h|_i}{\partial W_h} = \sum_{i=1}^t \frac{\partial J^{(t)}}{\partial W_h} \bigg| _{i} \times 1 \tag{4}$

这条式子怎么来的？首先要明确，RNN在训练时对一段语料进行前向传播，如果语料长度为$T$就会经历了$T$个时刻，之后再将每个时刻$t$的损失叠加起来求梯度反向传播，$t=1～T$时刻内，参数矩阵是一直没有更新的，也即是同一个矩阵$W_h$。那么$i=1～t$时刻内，因为它们是$1$$～$$T$内的一个子时段，参数矩阵$W_h|_i$肯定一直不变的，也即$W_h|_1 = W_h|_2 = ... = W_h|_t = W_h$，因此$\frac{\partial W_h|_i}{\partial W_h}=1$，第二项可以被忽略掉。

现在问题转化为$\frac{\partial J^{(t)}}{\partial W_h} \bigg| _{i}$要怎么计算？这个就比较复杂了，这里需要用到链式法则：

$\frac{\partial J^{(t)}}{\partial W_h} \bigg| _{i} = \frac{\partial J^{(t)}}{\partial \hat{y}^{(t)}} \frac{\partial \hat{y}^{(t)}}{\partial h^{(t)}} \frac{\partial h^{(t)}}{\partial h^{(i)}} \frac{\partial h^{(i)}}{\partial W_h|_i}$

上面提到说$W_h|_i = W_h$，因此下面就都简写成$W_h$，上面的式子可以写作：

$\frac{\partial J^{(t)}}{\partial W_h} \bigg| _{i} = \frac{\partial J^{(t)}}{\partial \hat{y}^{(t)}} \frac{\partial \hat{y}^{(t)}}{\partial h^{(t)}} \frac{\partial h^{(t)}}{\partial h^{(i)}} \frac{\partial h^{(i)}}{\partial W_h} \tag{5}$

这个公式中第1、2、4项都很容易求得，关键是第三项$\frac{\partial h^{(t)}}{\partial h^{(i)}}$应该怎么求？我们还是可以用链式法则拆开它，但可以注意到它是与时刻$i$有关的，可以想象当$i=t-1$，那就向前追溯1个时刻，当$i=t-2$时，要向前追溯2个时刻，以此类推，$i=1$的话要向前追溯两个时刻，也即$\frac{\partial h^{(t)}}{\partial h^{(i)}}$需要向前追溯$(t-i)$个时刻，写成公式的话可以表示成：

$\frac{\partial h^{(t)}}{\partial h^{(i)}} = \prod_{j=i+1}^t \frac{\partial h^{(j)}}{\partial h^{(j-1)}} \tag{6}$

至此，损失$J$对$W_h$的梯度可以写成：

$\begin{aligned} \frac{\partial J}{\partial W_h} &= \frac{1}{T}\sum_{t=1}^T \frac{\partial J^{(t)}}{\partial W_h} \\ &= \frac{1}{T}\sum_{t=1}^T\sum_{i=1}^t \frac{\partial J^{(t)}}{\partial W_h} \bigg|_{i}\\ &=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^T\sum_{i=1}^t \frac{\partial J^{(t)}}{\partial \hat{y}^{(t)}} \frac{\partial \hat{y}^{(t)}}{\partial h^{(t)}} \frac{\partial h^{(t)}}{\partial h^{(i)}} \frac{\partial h^{(i)}}{\partial W_h} \\ &=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^T\sum_{i=1}^t (\frac{\partial J^{(t)}}{\partial \hat{y}^{(t)}} \frac{\partial \hat{y}^{(t)}}{\partial h^{(t)}} (\prod_{j=i+1}^t \frac{\partial h^{(j)}}{\partial h^{(j-1)}} )\frac{\partial h^{(i)}}{\partial W_h}) \end{aligned} \tag{7}$

接下来其实可以继续追问$\frac{\partial h^{(j)}}{\partial h^{(j-1)}}$怎么求解，我们回顾之前的图示：

从图中我们可以得知$h^{(j)}$和$h^{(j-1)}$具有直接关系：

$h^{(j)} = \sigma(W_hh^{(j-1)}+W_ee^{(t)} + b_1) \tag{8}$

则它们间的梯度也很容易求得：

$\frac{\partial h^{(j)}}{\partial h^{(j-1)}} = diag(\sigma'(W_hh^{(j-1)}+W_ee^{(t)} + b_1)) \times W_h \tag{9}$

其中$diag(*)$表示对角矩阵，对角线中的值即为$*$，这条式子在补充材料notes中有些许不同，但是本质上是一致的。

至此，RNN关于W_h的梯度计算就完成了，关于$$W_e$$的梯度计算也是类似，这里就不再赘述。

3. 梯度消失和梯度爆炸

可以看到$(7)$式相当复杂，最关键的地方是两个不同时间隐状态间的梯度$\frac{\partial h^{(t)}}{\partial h^{(i)}}$，需要从t时刻一直地追溯到i时刻，而且要进行多次这样的追溯。我们结合$(6)$和$(8)$可将$\frac{\partial h^{(t)}}{\partial h^{(i)}}$写做：

$\frac{\partial h^{(t)}}{\partial h^{(i)}} = \prod_{j=i+1}^t \frac{\partial h^{(j)}}{\partial h^{(j-1)}} = \prod_{j=i+1}^t diag(\sigma'(W_hh^{(j-1)}+W_ee^{(t)} + b_1)) \times W_h \tag{10}$

接下来将结合该式子讲述了为什么会RNN特别容易梯度消失和梯度爆炸，CS224N的课件slides和补充材料notes是从两个角度来进行解释的，下面将分别对两者的思路进行讲解，在推导过程中为了保持本文符号的一致性，可能与课件材料有些出入。

课件中的解释：

为了简化问题，我们假设激活函数$\sigma$为恒等映射即$\sigma(x)=x$，则$\sigma'=1$，公式$(10)$可以改写成：

$\frac{\partial h^{(t)}}{\partial h^{(i)}} = \prod_{j=i+1}^t I \times W_h = \prod_{j=i+1}^t W_h = W_h^{t-i} \tag{11}$

也即是矩阵$W_h$连续自乘了$(t-i)$次，由于输入的词向量$e$和隐状态$h$一般都是保持同样的维度，因此$W_h$一定是方阵，不用担心自乘时维度对不上。假设矩阵$W_h$的特征值和特征向量分别为：

$\begin{aligned}\text{特征值:} \ \ \ \lambda_1, \lambda_2,...,\lambda_n \\ \text{特征向量:}\ \ \ q_1,q_2,...,q_n\end{aligned}$

根据线性代数的知识，有：

$W_h = P\Lambda P^{-1}，P是特征向量组成的矩阵，\Lambda是特征值组成的对角矩阵$

进一步可以推出：

$\frac{\partial h^{(t)}}{\partial h^{(i)}}= W_h^{t-i} = P\Lambda^{t-i} P^{-1} \tag{12}$

假设$W_h$的特征值全都小于1，那么一旦两个词相隔越远，或说两个时刻$(t-i)$相隔越长，对角矩阵$\Lambda^{t-i}$上的元素会越乘越小，接近于0，那$\frac{\partial h^{(t)}}{\partial h^{(i)}}$自然也接近于零矩阵，再跟其他的矩阵或向量相乘也会存在大量的零，也就是梯度几乎都为零，这就是梯度消失的原因。反过来，如果说$W_h$的特征值全都大于1，对角矩阵$\Lambda^{t-i}$上的元素会越乘越大，之后其他矩阵内的元素也会变得越来越大，甚至出现NaN值，这就是梯度爆炸的原因。上面在推导前是假设激活函数为恒等映射，但其实换成别的激活函数也一样会出现梯度消失或梯度爆炸，因为公式12中参数矩阵$W_h$的指数形式依然存在。

补充材料中的讲解

这次从公式$(6)$出发，如果我们考虑矩阵的模，那么从公式$(10)$可以得知：

$||\frac{\partial h^{(j)}}{\partial h^{(j-1)}}|| \le ||diag(\sigma'(W_hh^{(j-1)}+W_ee^{(t)} + b_1))|| \times ||W_h|| \le \beta_W\beta_h\tag{13}$

其中的$\beta$只是对$||diag(\sigma'(W_hh^{(j-1)}+W_ee^{(t)} + b_1))||$和$||W_h||$分别进行简写。在这之后，结合公式$(10)$，可以得到

$||\frac{\partial h^{(t)}}{\partial h^{(i)}}|| = ||\prod_{j=i+1}^t \frac{\partial h^{(j)}}{\partial h^{(j-1)}}|| \le (\beta_W\beta_h)^{t-i} \tag{14}$

如果$\beta_W$$\beta_h$小于1，即$W_h$的模与$||diag(\sigma'(W_hh^{(j-1)}+W_ee^{(t)} + b_1))||$的乘积小于1，那么由于指数项的作用，$||\frac{\partial h^{(t)}}{\partial h^{(i)}}||$同样也会变得很小，容易出现梯度消失，相反如果它们大于1，那么$||\frac{\partial h^{(t)}}{\partial h^{(i)}}||$会变得相当大，容易出现梯度爆炸。

这里可以注意到两个细节，一方面，根据线性代数额知识，$W_h$的模和它的特征值有密切关系，如果像上面课件中说的那样$W_h$特征值都小于1，那么它的模肯定也很小；另一方面，另外一项$\beta_h$是和激活函数相关的，上面说激活函数不采用恒等映射同样可能出现梯度消失或梯度爆炸，此话没错，但更准确地说，梯度会不会出现问题和激活函数是会存在关系的。为了缓解梯度消失，我们可以选择ReLU激活函数，尽管它相对容易引起梯度爆炸，但是对于梯度爆炸我们好歹有梯度截断方法可以缓解，比起梯度消失更加可控。

还有最后一点需要注意的是，RNN的梯度消失主要是长距离的梯度消失，公式$(12)、(14)$的指数项$(t-i)$需要足够大才有明显地梯度消失效应，短距离的梯度还是正常的，而总梯度是包含了长距离和短距离的梯度，所以总梯度并不是完全为0，只是模型参数的更新方向不受长时约束，这样RNN就失去了捕捉更大范围上下文信息的能力。

四、优缺点

相比于统计语言模型以及固定窗口神经语言模型，RNN的优点在于：

1. 可以处理不定长序列
2. 对不同位置的词向量采用同样的参数进行计算，缩减模型参数且增强参数了泛化性
3. 模型的大小与序列长度无关
4. 可以更好地捕捉长时信息

但是其缺点也很明显：

1. 很容易梯度消失，且是致命弱点，普通的RNN对此没有解决办法。梯度消失会造成两个问题：

   • 长时约束的作用减弱，模型几乎只受短时约束
   • 我们无法分辨是真的没有长距离间的两个词是真的没有联系，还是我们没能捕捉到它们间的联系

2. 很容易梯度爆炸，可以通过梯度截断缓解

   • 模型发散，无法学习到有效信息
   • 梯度截断的实现

   

五、应用与展望

1. 词性标注，对序列中每一个词预测其词性；类似的还有NER（name entity recognition），即命名实体识别

2. 文本分类，比如情感分类

3. 作为编码模块，可以应用到QA问答系统、机器翻译等

4. 可以用于文本生成，如语音识别、文本翻译、文本梗概，此时的RNN是一个条件语言模型

六、参考文献

1. CS224N Lecture 6 slides && notes